Dailininkas tapytojas, skulptoriaus Kazio Švažo brolis. Mažeikių gimnazijoje Česlovo Kontrimo vadovaujamą meno būrelį. 1946 m. įstojo į Lietuvos dailės institutą, tačiau jį metė ir 1948 m. įstojo į Kauno taikomosios ir dekoratyvinės dailės institutą, bet vėl sugrįžo į Vilnių ir 1953 m. baigė dailės institutą, 1953-1976 m. jame dėstė tapybą, docentas (1965 m.).
Parodose dalyvavo nuo 1953 m. Tapė temines kompozicijas, peizažus, kūrė pasteles, piešė. Jo kūryboje buvo ryškus polinkis į dekoratyvumą, apibendrintą formą, laisvą ir metaforišką tikrovės interpretaciją. Sukūrė apie 600 tapybos darbų, daugiau kaip 300 pastelių, apie 150 piešinių.
1975 m. Jonui Švažui suteiktas nusipelniusio meno veikėjo vardas; Valstybinės premijos laureatas.